前言

初中使用的较多，常常指同一条线段；对其作以拓展，一般指的是两个相同的数学素材，可以是区间，直线，线段，角，函数等等；比如从不同角度得到的同一条直线，则其对应的系数就应该成比例；

例1【解集相同或区间相同】设\(a>0\)，不等式\(-c<ax+b<c\)的解集为\(\{x\mid -2<x<1\}\)，则\(a：b：c\)=____________。

分析：由\(-c<ax+b<c\)得到不等式的解集为\(\cfrac{-c-b}{a}<x<\cfrac{c-b}{a}\)，又解集为\(\{x\mid -2<x<1\}\)，

则有\(\cfrac{-c-b}{a}=-2\)且\(\cfrac{c-b}{a}=1\)，解得\(b=\cfrac{a}{2}\)，\(c=\cfrac{3a}{2}\)，故\(a：b：c=2：1：3\).

例2【直线相同】在直角坐标系\(xoy\)中，以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆\(C_1\)，直线\(C_2\)的极坐标方程分别为\(\rho=4sin\theta\)，\(\rho cos(\theta-\cfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\)，

(1)、求\(C_1\)与\(C_2\)的交点的极坐标；

分析：\(C_1:x^2+y^2-4y=0\)，\(C_2:x+y-4=0\)，其交点的直角坐标为\((2，2)\)和\((0，4)\)，则其对应的极坐标为\((2\sqrt{2}，\cfrac{\pi}{4})\)和\((4，\cfrac{\pi}{2})\)；

(2)、设\(P\)为\(C_1\)的圆心，\(Q\)为\(C_1\)与\(C_2\)的交点连线的中点，已知直线\(PQ\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=t^3+a}\\{y=\cfrac{b}{2}t^3+1}\end{array}\right.\)(\(t\in R\))为参数，求\(a，b\)的值；

分析：由题可知，\(P(0，2)\)，且\(k_{PQ}=1\)，则可知直线\(PQ\)的普通方程为\(x-y+2=0\)；

又直线\(PQ\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=t^3+a}\\{y=\cfrac{b}{2}t^3+1}\end{array}\right.\)(\(t\in R\))为参数，消参得到\(bx-2y-ab+2=0\)，

由于其是同一条直线，则可知对应系数成比例，则\(\cfrac{1}{b}=\cfrac{-1}{-2}=\cfrac{2}{-ab+2}\)，解得\(a=-1\)，\(b=2\)。

例3【利用同一法求解析式】【2018内蒙古赤峰一模】

已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\)，且\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\)，若\(f(0)=0\)，则函数\(f(x)\)的单调递减区间为【】

$A(-\infty，\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}，+\infty)$ $B(\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}，\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})$

$C(-\infty，3-\sqrt{5})\cup(3+\sqrt{5}，+\infty)$ $D(3-\sqrt{5}，3+\sqrt{5})$

分析：由\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\)，得到\(e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)，

令\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，则\(g'(x)=e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)，则\(g(x)=x^2-x+C\)，

由于\(f(0)=0\)，则\(g(0)=e^0\cdot f(0)=0\)，则\(g(x)=x^2-x\)；

这样从两个不同的角度得到了同一个函数\(g(x)\)，则\(g(x)=x^2-x=e^x\cdot f(x)\)，解得\(f(x)=\cfrac{x^2-x}{e^x}\)；

接下来用导数的方法，求函数\(f(x)\)的单调区间即可，\(f'(x)=\cdots=\cfrac{-x^2+3x-1}{e^x}=-\cfrac{(x-\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})(x-\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})}{e^x}\)

故单调递减区间为\((-\infty，\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}，+\infty)\)，故选\(A\)。

例4【向量相同】在\(\triangle ABC\)中，点\(G\)满足\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)，若存在点\(O\)，使得\(\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}\)，且\(\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}\)，则\(m-n\)=【】

$A.2$ $B.-2$ $C.1$ $D.-1$

分析：由题目\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)可知，

\((\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG})=\vec{0}\)，整理得到

\(\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)，又\(\overrightarrow{OG}=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}\)，

则\(\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{BC}=\cfrac{1}{6}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\)

整理得到，\(\overrightarrow{OA}=-\cfrac{3}{2}\overrightarrow{OB}-\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)，结合已知\(\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}\)，

则可知\(m=-\cfrac{3}{2}\)，\(n=-\cfrac{1}{2}\)，则\(m-n=-1\)，故选\(D\)。